Chapter 8
8-1
解：
由电磁感应定律，得：
\(\mathscr{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB}{dt}=-\pi(3t+4)\times10^{-6}\tag{SI}\)
又由欧姆定律，得：
\(I=\frac{\mathscr{E}}{R}\)
- (1)
代入$t=2s$，得：
\(\begin{aligned}
\mathscr{E}&=-3.14\times10^{-5}\ \mathrm{T}\\
I&=-3.14\times10^{-2}\ \mathrm{A}
\end{aligned}\)
- (2)
\(Q=|\frac{\Delta\Phi}{R}|=4.4\times10^{-2}\ \mathrm{C}\)
8-2
解：
- (1)
由电磁感应定律，得：
\(\begin{aligned}
\mathscr{E}=\int_L(\boldsymbol{v\times B})\cdot d\boldsymbol{l}&=\frac{\mu_0Iv}{2\pi}\cot\theta\int^{d+l\sin\theta}_d\frac{dr}{r}\\
&=\frac{\mu_0Iv}{2\pi}\cot\theta\ln\frac{d+l\sin\theta}{d}\\
&=2.79\times10^{-4}\ \mathrm{V}
\end{aligned}\)
- (2)
由$\mathscr{E}>0$，得D电势高。
8-4
解：
\(U_{ab}=\mathscr{E}=\int_L(\boldsymbol{\omega\times r\times B})\cdot d\boldsymbol{l}=-\frac{B\omega l^2}{4}\)
由于$U_{ab}<0$，故$b$点电势高
8-6
解：
- (1)
对棒及电路进行分析，可得：
\(\begin{aligned}
\mathscr{E}&=Blv\\
I&=\frac{\mathscr{E}}{R}\\
m\frac{dv}{dt}&=-BIl
\end{aligned}\)
联立得：
\(\begin{aligned}
&\frac{dv}{dt}+\frac{B^2l^2}{mR}v=0\\
\Rightarrow&v=v_0e^{-\frac{t}{\tau}}&(其中\tau=\frac{mR}{B^2l^2})
\end{aligned}\)
- (2)
\(\begin{aligned}
&\frac{dv}{dt}+\frac{B^2l^2}{mR}v=0\\
\Rightarrow&v\frac{dv}{dx}+\frac{v}{\tau}=0\\
\Rightarrow&\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\tau}\\
\Rightarrow&x=-\tau(v-v_0)
\end{aligned}\)
停止运动时，$v=0$，得：
\(x_m=\frac{mRv_0}{B^2l^2}\)
- (3)
\(Q=\int_0^tI^2Rdt=\frac{B^2l^2}{R}\int_0^tv^2dt\)
代入$v=v_0(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$，令$t\to+\infty$，得：
\(Q=\frac{1}{2}mv_0^2\)
- (4)
由能量守恒，应有：
\(Q=-\Delta E_k\)
上述结果满足此式。
8-9
解：
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如图，有圆形磁场区域感生电场垂直于半径，所以两虚线上无感应电动势。故：
\(U_{PQ}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{l}{4}\sqrt{4R^2-l^2}\frac{dB}{dt}\)
负号表示Q电势更高。
8-10
解：
- (1)
\(\Phi=\int_a^b-\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}ldr=-\frac{\mu_0l}{2\pi}\ln{\frac{b}{a}}I_0e^{-ct}\)
由电磁感应定律，得：
\(\mathscr{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{\mu_0lc}{2\pi}\ln{\frac{b}{a}}I_0e^{-ct}\)
电流为逆时针方向。
- (2)
\(M=\frac{\Phi}{I}=\frac{\mu_0l}{2\pi}\ln{\frac{b}{a}}\)
8-11
解：
由8-10的结论，得互感系数：
\(M=\frac{\mu_0c}{2\pi}\ln\frac{b}{a}\)
故有：
\(\mathscr{E}=-M\frac{di}{dt}=-\frac{\mu_0cI_0\omega}{2\pi}\cos\omega t\ln\frac{b}{a}\)
8-14
解：
对于中间部分，即距离某导线距离为$r$到$d-r$，长度为$l$的一部分，磁通量为：
\(\Phi=2\int_r^{d-r}\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r}ldr=\frac{\mu_0Il}{\pi}\ln\frac{d-r}{r}\)
故有：
\(L=\frac{\Phi}{I}=\frac{\mu_0l}{\pi}\ln\frac{d-r}{r}\)
8-15
解：
答案为D.