Physics-Homework

Chapter 6

6-1

解：

由库仑定律，取一小段距P点距离为$r$，长度为$dr$的棒，有： $dF=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qqdr}{L}r^{-2}$ 得： $F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qq}{L}\int_{a-L/2}^{a+L/2}r^{-2}dr=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\frac{Qq}{4a^2-L^2}$ $F$的方向沿OP。

6-3

解：

如图建立坐标系。分析可得，电场强度沿x轴。
取$\varphi$角处张角为$d\varphi$的圆环，有： $dE_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi\sigma R^2\sin\varphi d\varphi}{R^2}\cos\varphi$ 得： $E_x=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi d\varphi=\frac{\sigma}{4\epsilon_0}$ 方向沿x轴。

6-5

解：

(1) 对导线$+\lambda$，做以其为中轴线，半径为$r$的圆柱面,截取高为$l$的一段。由高斯定理可得： $\begin{aligned} 2\pi Rl\cdot E(r)&=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}\\ \Rightarrow E(r)&=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r} \end{aligned}$ 代入此题情景，得： $\begin{aligned} E(x)&=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0x}-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0(a-x)}\\ &=\frac{\lambda a}{2\pi\epsilon_0x(x-a)} \end{aligned}$
(2) 代入导线处另一条导线的电场强度，得： $\frac{dF}{dl}=E\cdot\lambda=\frac{\lambda^2}{2\pi\epsilon_0a}$

6-6

解：

等效为两个带电体：完整的半径为$R$、电荷密度为$\rho$的球，和半径为$r$、电荷密度为$-\rho$的球。
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小球的电场强度为： $\overrightarrow{E_1}=-\frac{\rho}{3\epsilon_0}\overrightarrow{r_0}$ 大球的电场强度为： $\overrightarrow{E_1}=\frac{\rho}{3\epsilon_0}(\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{O_2O_1})$ 得： $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\overrightarrow{O_1O_2}$ 取模长： $E=\frac{\rho a}{3\epsilon_0}$

6-8

解：

取立方体六面为高斯面，由对称性，三面电场强度通量为$0$,另外三面电场强度通量相等，设为$\Phi$。由高斯定理： $3\Phi=\frac{q}{\epsilon_0}$ 解得： $\Phi=\frac{q}{3\epsilon_0}$

6-10

解：

对O点： $U_O=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_l^{2l}\lambda x^{-1}dx+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{2l}^{3l}\lambda x^{-1}dx=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\ln\frac{3}{4}$ 对P点：
分析：由对称性，可知BP及其延长线上的电场强度方向与$\overrightarrow{AC}$相同，垂直于BP。故将P点上一个电荷沿BP移向无穷远，电场力不做功。故P点与无穷远处等电势，即： $U_P=0$

6-11

解：

由球对称性，电场方向沿径向。

在内部： $4\pi\epsilon_0 r^2E(r)=\int_0^r\frac{k}{r}4\pi r^2dr=2k\pi r^2$ 解得： $E(r)=\frac{k}{2\epsilon_0}$
在外部： $4\pi\epsilon_0r^2E(r)=\int_0^R4\pi r^2dr=2k\pi R^2$ 解得： $E(r)=\frac{k}{2\epsilon_0}\frac{R^2}{r^2}$

综上，电场强度为： $E(r)=\begin{cases} \frac{k}{2\epsilon_0},&r\in[0,r]\\ \frac{k}{2\epsilon_0}\frac{R^2}{r^2},&r\in[r,+\infty) \end{cases}$

由$U(r)=-\int^r_{\infty}Edr$，得： $U(r)=\begin{cases} \frac{k}{2\epsilon}(2R-r),&r\in[0,r]\\ -\frac{k}{2\epsilon_0}\frac{R^2}{r},&r\in[r,+\infty) \end{cases}$

6-13

解：

\[A=-\Delta W=\frac{2q\cdot q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{R}-\frac{1}{3R})=\frac{q^2}{3\pi\epsilon_0R}\]

6-16

解：

取如图1，2两个高斯面。由于下极板接地，故下极板以下无电场，又导体内部没有电场。由高斯定理解得： $\begin{aligned} \sigma_2+\sigma_3&=0\\ \sigma_4&=0 \end{aligned}$ 对P点分析,由p的电场强度为0得： $\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3=0$ 又有： $\begin{aligned} (\sigma_1+\sigma_2)S=Q_1\\ (\sigma_3+\sigma_4)S=Q_2^\prime \end{aligned}$ 解得： $\begin{cases} \sigma_1=\sigma_4=0\\ \sigma_2=-\sigma_3=\frac{Q_1}{S} \end{cases}$ 故A、B间电场强度为： $E=\frac{Q_1}{\epsilon_0S}$

6-17

解：

(1) 由B、C板电势相同，得： $\frac{q_Bd_{AB}}{\epsilon_0S}=\frac{q_Cd_{AC}}{\epsilon_0S}$ 又有： $q_B+q_C=-Q_A$ 得： $\begin{cases} q_B=-1.0\times10^{-7}\ \mathrm{C}\\ q_C=-2.0\times10^{-7}\ \mathrm{C} \end{cases}$
(2) $U_A=E\cdot\frac{d}{2}=\frac{q_Bd_{AB}}{2\epsilon_0S}=2.26\times10^4\ \mathrm{V}$

6-18

解：

由于静电屏蔽，球壳外无电场，球壳内表面带上总和为$-q$的电荷。故有： $U_O=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{d}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{-q}{R}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{d}-\frac{1}{R})$

6-21

解：

(1) 由高斯定理易得： $\boldsymbol E= \begin{cases} 0,&r\in[0,R_1)\\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{r^2}\boldsymbol{e_r},&r\in(R_1,R_2)\\ 0,&r\in(R_2,R_3)\\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1+Q_2}{r^2}\boldsymbol{e_r},&r\in(R_3,+\infty) \end{cases}$
(2) $\begin{aligned} W_e=\iiint\limits_\Omega wdV&=\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{2}\epsilon_0\epsilon_rE^2\cdot 4\pi r^2dr\\ &=\frac{Q_1^2}{8\pi\epsilon_0\epsilon_r}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}) \end{aligned}$
(3) 代入，得： $W_e=6\times10^{-4}\ \mathrm{J}$

6-23

解：

电容器能量公式： $W=\frac{1}{2}C(\Delta U)^2=4\pi\epsilon_0(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})(\Delta U)^2$
电场能量公式： $Q=C\Delta U$ $E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}$ $W=\iiint\limits_\Omega wdV=\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{2}\epsilon_0E^2\cdot4\pi r^2dr$ 联立解得： $W=4\pi\epsilon_0(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})(\Delta U)^2$