两个相对论因子，$\beta=\cfrac{u}{c},\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$
解：
取飞船本征系，有： \(L=c\Delta t\)
解：
取地面系为$S$系，飞船为$S^\prime$系。 \(v^\prime=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}\) $S^\prime$下有： \(t=\frac{l}{|v|}=1.19\mathrm{\mu s}\)
解：
Lrentz变换： \(\Delta x^\prime=\gamma(\Delta x+\beta c\cdot0)\) 解得相对论参数： \(\begin{cases} \gamma=2\\ \beta=\pm\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\) Lrentz变换： \(\Delta t^\prime=\gamma(0-\beta \Delta x/c)=5.77\mathrm{\mu s}\)
解：
Lrentz变换： \(\Delta t^\prime=\gamma(\Delta t-\beta \cdot 0)\) 解得相对论参数： \(\begin{cases} \gamma=\frac{3}{2}\\ \beta=\frac{\sqrt{5}}{3} \end{cases}\) Lrentz变换： \(\Delta x^\prime=\gamma(0+\beta c\Delta t)=6.72\times 10^8\mathrm{m}\)
解：
引入虚数单位$i$，有Lrentz变换： \(\begin{bmatrix} \Delta x^\prime\\ic\Delta t^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma & i\beta\gamma\\ -i\beta\gamma & \gamma \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \Delta x\\ic\Delta t \end{bmatrix}\) 因有矩阵 \(\begin{bmatrix} \gamma & i\beta\gamma\\ -i\beta\gamma & \gamma \end{bmatrix}\) 为正交矩阵，故变换前后内积不变。代入$\Delta t^\prime=0$，得： \(\Delta x^\prime=(\Delta x^2-c^2\Delta t^2)^{1/2}\)
解：
Lrentz变换： \(\Delta t=\gamma(\Delta t^\prime +0)=12.5\mathrm{s}\) 在$S$系下： \(\Delta t_2=\frac{v\Delta t}{v_1}=25\mathrm{s}\) \(t=\Delta t+\Delta t_2=37.5\mathrm{s}\)
解：
有初动量为0，由动量守恒，末动量为0，即最后粒子静止，由能量关系： \(m_0^\prime c^2=2\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\) 得： \(m_0^\prime=\frac{2m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)
解：
解：
设复合质点静止质量为$km_0$。 \(\begin{cases} p_c=p_b\\ (7m_0c^2)^2=m_0^2c^4+p_b^2c^2\\ (8m_0c^2)^2=k^2m_0c^4+p_c^2c^2 \end{cases}\) 解得$k=4$，即复合质点质量为$4m_0$